Question

如圖，已知，分別是正方形邊、的中點，與交于點，、都垂直于平面，且， ，是線段上一動點．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若平面，試求的值；
（Ⅲ）當是中點時，求二面角的余弦值．

Answer 1

法1：（Ⅰ）連結，
∵平面，平面，∴，
又∵，，
∴平面，
又∵，分別是、的中點，∴，
∴平面，又平面，
∴平面平面；
（Ⅱ）連結，
∵平面，平面平面，
∴，
∴，故 
（Ⅲ）∵平面，平面，∴，
在等腰三角形中，點為的中點，∴，
∴為所求二面角的平面角，
∵點是的中點，∴，
所以在矩形中，可求得，，，
在中，由余弦定理可求得，
∴二面角的余弦值為．
法2：（Ⅰ）同法1；
（Ⅱ）建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，
∴，，

設點的坐標為，平面的法向量為，則，
所以，即，令，則，，
故，
∵平面，∴，即，解得，
故，即點為線段上靠近的四等分點；故     
（Ⅲ），則，
設平面的法向量為，
則，即，令，
則，，即，
當是中點時，，則，
∴，
∴二面角的余弦值為．

略