Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

（2）對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，得從而確定，再根據(jù)單調(diào)性得值域（2）先整理不等式得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒非負(fù)，分離變量得最小值，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，得最值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，

，

令，有，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，

得，解得： ，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， ，可得，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

，

，

故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

（2）由，有，

故可化為，

整理為： ，

即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，

，

，故當(dāng)時(shí)， ，

即，

①當(dāng)時(shí)， ；

②當(dāng)時(shí)，整理為： ，

令，有 ，

當(dāng)， ， ，有，

當(dāng)時(shí)，由，有 ，可得，

由上知時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

故，

故有： ，可得.