Question

【題目】已知函數

(1) 判斷函數的單調性并給出證明；

(2)若存在實數使函數是奇函數，求；

(3)對于(2)中的，若，當時恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據單調性定義：先設再作差，變形化為因子形式，根據指數函數單調性確定因子符號，最后根據差的符號確定單調性（2）根據定義域為R且奇函數定義得f(0)＝0，解得a＝1，再根據奇函數定義進行驗證（3）先根據參變分離將不等式恒成立化為對應函數最值問題： 的最小值，再利用對勾函數性質得最小值，即得的范圍以及的最大值．

試題解析：解：(1)不論a為何實數，f(x)在定義域上單調遞增．

證明：設x1，x2∈R，且x1<x2，

則 由可知，所以,

所以

所以由定義可知，不論為何值， 在定義域上單調遞增

(2)由f(0)＝a－1＝0得a＝1，

經驗證，當a＝1時， f(x)是奇函數．

(3)由條件可得： m2x＝(2x＋1)＋－3恒成立．m (2x＋1)＋－3的最小值，x∈[2,3]．

設t＝2x＋1，則t∈[5,9]，函數g(t)＝t＋－3在[5,9]上單調遞增，

所以g(t)的最小值是g(5)＝，

所以m，即m的最大值是.