Question

如右圖所示，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M為AA₁的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC₁到M的最短路線長為,設這條最短路線與CC₁的交點為N.求：

(1)該三棱柱的側面展開圖的對角線長；
(2)PC和NC的長.

Answer 1

(1)其對角線長為
.
(2) PC=P₁C=2,
NC=.

(1)正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為
.

(2)如右圖所示，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點P運動到點P₁的位置，連結MP₁，則MP₁就是由點P沿棱柱側面經過棱CC₁到點M的最短路線.
設PC=x，則P₁C=x.
在Rt△MAP₁中,
由勾股定理得(3+x)²+2²=29,
求得x=2.∴PC=P₁C=2,
∵,∴NC=.