Question

已知x²+y²=4的圓內有P與A（-2，0），B（2，0），連接PA、PB，|

PA

|•|

PB

|=|

PO

|²．求

PA

•

PB

范圍．（運用

PA

•

PB

=|

PA

|•|

PB

|•cosθ求解）

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓

分析：由|

PA

|•|

PB

|=|

PO

|²，設點P（x，y），代入化簡可得x²=y²+2．由點P在圓內可得 x²+y²＜4，可得0≤y²＜1．化簡

PA

•

PB

=2（y²-1），從而求得

PA

•

PB

的取值范圍．

解答： 解：圓O與x軸相交于A（-2，0）、B（2，0）兩點，
圓內的動點P滿足|

PA

|•|

PB

|=|

PO

|²，
設點P（x，y），
 則有

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，
即

(x2+y2+4)2-(4x)2

=x²+y²，
兩邊平方，化簡可得 x²=y²+2．
由點P在圓內可得 x²+y²＜4，故有 0≤y²＜1．
∵

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=2（y²-1）∈[-2，0）．
即

PA

•

PB

的取值范圍是[-2，0）．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，兩個向量的數量積的定義和坐標表示，屬于中檔題．