Question

設函數f（x）=alnx+

2a2

x

（a≠0）的圖象上在點（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）求證：對于定義域內的任意一個x，都有f（x）≥3-x．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求f（x）的定義域為{x|x＞0}，再求導f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

，從而可得a的值；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）-（3-x），求導，化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

．
根據題意，f'（1）=2-3a，所以a-2a²=2-3a，
即a²-2a+1=0，解得a=1．
（Ⅱ）證明：f(x)=lnx+

2

x

．
設g（x）=f（x）-（3-x），
即g(x)=lnx+

2

x

+x-3.g′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

=

(x-1)(x+2)

x2

(x＞0)．
當x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是g（x）的最小值點．
可見g（x）_最小值=g（1）=0，
所以g（x）≥0，即f（x）-（3-x）≥0，
所以對于定義域內的每一個x，都有f（x）≥3-x．

點評：本題考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．