Question

【題目】已知函數 f（x）=sin2x+ sinxcosx+ ，x∈R，
（1）求函數f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的單調遞減區間；
（2）若關于x的方程f（x）+k=0，在區間[0， ]上且只有一個實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知 ，

= ，

=

∴

又因為 ，

∴ ．

當k=0時 ；

當k=﹣1時 ，

∴函數f（x）在[﹣π，π]的單調遞減區間為 ，

（2）解：由 ，

所以 ，

∴ ，

f（x）+k=0在區間 上有且只有一個實數解，

即函數 與y=﹣k﹣2在區間 上有且只有一個交點，

由函數的圖象可知 ﹣k﹣2=1

∴

【解析】（1）由二倍角公式及輔助角公式將f（x）化簡，由f（x）的最小正周期T= = ，即可求得f（x）的最小正周期，根據正弦函數的單調性，即可求得[﹣π，π]上的單調遞減區間；（2）由 ，求得 ，則f（x）+k=0在區間 上有且只有一個實數解，由函數圖象即可求得實數k的取值范圍．