Question

【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與地面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，首屆中國國際進口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結構可以抽象為空間圖形陽馬，如圖所示，在陽馬中，底面.

（1）已知，斜梁與底面所成角為，求立柱的長；（精確到）

（2）求證：四面體為鱉臑.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）在中，由題意知 由解得 .

（2）推導出，由此能證明BC⊥平面PDC．從而得到四面體EBCD是鱉臑．其中四個直角分別為∠BCD，∠BCP，∠PDC，∠PDB．

（1）解：因為側棱底面，

則側棱在底面上的射影是，

所以就是側棱與底面所成的角，即．

在中，，

由得 ，解得 ．

所以立柱的長約為 ．

（2）由題意知底面是長方形，所以是直角三角形．

因為側棱底面，得，

所以、是直角三角形．

因為，，又， 平面，

所以平面．

又因為 平面，所以，所以 為直角三角形．

由鱉臑的定義知，四面體為鱉臑．