Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，且的周長為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓分別交于，兩點，且，試問點到直線的距離是否為定值，證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）是，證明見解析

【解析】

（1）由題意可知：，，即可求得和的值，求得橢圓方程；

（2）分類討論，當直線斜率存在時，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，求得和的關系，利用點到直線的距離公式，即可求得點到直線的距離是否為定值．

（1）由題意知，，，

由橢圓離心率，則.

橢圓的方程；

（2）由題意，當直線的斜率不存在，

因為，此時可設，.

又在，兩點在橢圓上，

，，

點到直線的距離，

當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

設，聯立方程組，

消去得：.

由已知，，，

由，則，

即，

整理得:，

，

，滿足，

點到直線的距離為定值.

綜上可知：點到直線的距離為定值.