Question

（2012•山東）設函數f(x)=

1

x

，g（x）=-x²+bx．若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且僅有兩個不同的公共點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則下列判斷正確的是（　　）

A．x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0

B．x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0

C．x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0

D．x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0

Answer 1

分析：構造函數設F（x）=x³-bx²+1，則方程F（x）=0與f（x）=g（x）同解，可知其有且僅有兩個不同零點x₁，x₂．利用函數與導數知識求解．

解答：解：設F（x）=x³-bx²+1，則方程F（x）=0與f（x）=g（x）同解，故其有且僅有兩個不同零點x₁，x₂．
由F'（x）=0得x=0或x=

2

3

b．這樣，必須且只須F（0）=0或F(

2

3

b)=0，
因為F（0）=1，故必有F(

2

3

b)=0由此得b=

3

2

3	2

．不妨設x₁＜x₂，則x2=

2

3

b=

3	2

．所以F(x)=(x-x1)(x-

3	2

)2，
比較系數得-x1

3	4

=1，故x1=-

1

2

3	2

.x1+x2=

1

2

3	2

＞0，
由此知y1+y2=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

＜0，
故選B．

點評：本題考查的是函數圖象，但若直接利用圖象其實不易判斷，為此利用了構造函數的方法，利用函數與導數知識求解．要求具有轉化、分析解決問題的能力．題目立意較高，很好的考查能力．