Question

【題目】已知函數，記為的導函數．

（1）若的極大值為，求實數的值；

（2）若函數，求在上取到最大值時的值；

（3）若關于的不等式在上有解，求滿足條件的正整數的集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，；時，；（3）.

【解析】分析：（1）利用導數求函數的極大值，再解方程f (x)極大值＝0得到a的值. (2)利用導數求函數的單調區間，再求函數的最大值. (3) 設h (x)＝f(x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2

＋6ax＋3a－2，先把問題轉化為h (x)≥0在有解，再研究函數h(x)的圖像性質分析出正整數a的集合.

詳解：（1）因為f (x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），

所以f'(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)．

令f'(x)＝0，得x＝0或a．

當x∈(－∞，0)時，f'(x)＞0，f (x)單調遞增；

當x∈(0，a)時，f'(x)＜0，f (x)單調遞減；

當x∈(a，＋∞)時，f'(x)＞0，f (x)單調遞增．

故f (x)極大值＝f (0)＝3a－2＝0，解得a＝．

（2）g (x)＝f (x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），

則g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．

①當0＜a≤2時，△＝36(a2－4)≤0，

所以g′(x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上單調遞增，

則g (x)取得最大值時x的值為1．

②當a＞2時，g′(x)的對稱軸x＝＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，

所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零點x0＝．

當x∈(0，x0)時，g′(x)＞0，g (x)單調遞增，

當x∈(x0，1)時，g′(x)＜0，g (x)單調遞減，

則g (x)取得最大值時x的值為x0＝．

綜上，當0＜a≤2時，g (x)取得最大值時x的值為1；

當a＞2時，g (x)取得最大值時x的值為．

（3）設h (x)＝f (x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，

則h (x)≥0在有解．

h′(x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6，

因為h′(x)在上單調遞減，

因為h′(x)＜h′()＝－a2＜0，

所以h (x)在上單調遞減，

所以h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．

設t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），則t′ (a)＝3a2－6a－6，

當a∈(0，1＋)時，t′ (a)＜0，t (a)單調遞減；

當a∈(1＋，＋∞)時，t′ (a)＞0，t(a)單調遞增．

因為t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一個零點m∈(0，1)，

因為t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一個零點n∈(4，5)，

所以t (a)≤0的解集為[m，n]，

故滿足條件的正整數a的集合為{1，2，3，4}．