Question

【題目】已知橢圓 的右焦點為 ，且點 在橢圓 上.
（1）求橢圓 的標準方程；
（2）過橢圓 上異于其頂點的任意一點 作圓 的兩條切線，切點分別為 （ 不在坐標軸上），若直線 在 軸， 軸上的截距分別為 ，證明： 為定值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：c=1，所以a2=b2+1，
又因為點 在橢圓C上，所以 可解得a2=4，b2=3，
所以橢圓標準方程為 .
（2）證明：由（1）知 ，設點 ，因為 不在坐標軸上，所以 ，直線 的方程為 化簡得 ，同理可得直線 的方程為： ，把點 的坐標代入得 ，所以直線 的方程為 ，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 又點 在橢圓 上，所以： ，即 為定值
【解析】（1）根據條件和橢圓的定義及性質可得a，b，c的關系，解方程即得a，b，c的值。
（2）根據（1）可得橢圓C1 ， 利用圓的切線性質分別設出直線QM，OM，QN，OM，最后消去Q，M，N的坐標，即可得到定值。