【題目】已知函數
， 
為其導函數.
(1) 設
，求函數
的單調區間；
(2) 若
, 設
， 
為函數
圖象上不同的兩點，且滿足
，設線段
中點的橫坐標為
證明： 
.
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，通過討論
的范圍， 
得增區間， 
得減區間即可；（2）問題轉化為證明
令
，根據函數單調性證明即可.
試題解析：(1) 
, 
①
時， 
定義域為
上
，故
在
上單調遞減；
上
，故
在
上單調遞增.
②
時， 
定義域為
上
，故
在
上單調遞增；
上
，故
在
上單調遞減.
(2) 
，故
在定義域
上單調遞增.
只需證： 
，即證
(*)
注意到
不妨設
.
令
，
則
，從而
在
上單減，
故
， 即得(*)式.
法二：(2) 
故
在定義域
上單調遞增.
注意到
且
設
，則
單調遞增且圖象關于
中心對稱.
構造函數
，
，
當
時, 
, 
單增；當
時, 
, 
單減,
故
，且等號僅在
處取到. 所以
與
圖象關系如下：
取
，則顯然有
, 從而
，
另外由三次函數
的中心對稱性可知
，則有 
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某班一次數學測試成績的莖葉圖（如圖甲）和頻率分布直方圖（如圖乙）都受到不同程度的污損，其中，頻率分布直方圖的分組區間分別為
，據此解答如下問題.（注：直方圖中
與
對應的長方形的高度一樣）
（1）若按題中的分組情況進行分層抽樣，共抽取
人，那么成績在
之間應抽取多少人？
（2）現從分數在
之間的試卷中任取
份分析學生失分情況，設抽取的試卷分數在之間 份數為
，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知（x+
）n展開式的二項式系數之和為256
（1）求n；
（2）若展開式中常數項為
，求m的值；
（3）若展開式中系數最大項只有第6項和第7項，求m的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】經市場調查，新街口某新開業的商場在過去一個月內（以30天計），顧客人數
（千人）與時間
（天）的函數關系近似滿足
（
），人均消費
（元）與時間
（天）的函數關系近似滿足
（1）求該商場的日收益
（千元）與時間
（天）（
， 
）的函數關系式；
（2）求該商場日收益的最小值（千元）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校學生營養餐由A和B兩家配餐公司配送. 學校為了解學生對這兩家配餐公司的滿意度，采用問卷的形式，隨機抽取了40名學生對兩家公司分別評分. 根據收集的80份問卷的評分，得到A公司滿意度評分的頻率分布直方圖和B公司滿意度評分的頻數分布表：
（Ⅰ）根據A公司的頻率分布直方圖，估計該公司滿意度評分的中位數；
（Ⅱ）從滿意度高于90分的問卷中隨機抽取兩份，求這兩份問卷都是給A公司評分的概率；
（Ⅲ）請從統計角度，對A、B兩家公司做出評價．
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