Question

已知向量

m

=(cosx，sinx)，

n

=(cosx，cosx)，設函數f(x)=

m

•

n

（I）求f（x）的解析式，并求最小正周期；
（II）若函數g（x）的圖象是由函數f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位得到的，求g（x）的最大值及使g（x）取得最大值時x的值．

Answer 1

分析：（I）根據向量數量積的坐標運算公式，結合三角恒等變換公式化簡，得數f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，再由三角函數的周期公式即可算出求最小正周期T；
（II）根據函數圖象平移的公式，可得g（x）=f（x-

π

8

）=

2

2

sin2x+

1

2

，結合正弦函數的圖象與性質，可得當x=

π

4

+kπ（k∈Z），g（x）=

2

2

sin2x+

1

2

取得最大值

2

2

+

1

2

，得到本題的答案．

解答：解：（I）∵向量

m

=(cosx，sinx)，

n

=(cosx，cosx)，
∴函數f(x)=

m

•

n

=cos²x+sinxcosx=

1

2

（1+cos2x）+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

即f（x）的解析式為y=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，最小正周期為T=

2π

2

=π；
（II）將f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位，得到y=f（x-

π

8

）=

2

2

sin[2（x-

π

8

）+

π

4

]+

1

2

，
即y=

2

2

sin2x+

1

2

的圖象，因此g（x）=

2

2

sin2x+

1

2

令2x=

π

2

+2kπ（k∈Z），得x=

π

4

+kπ（k∈Z）
∴當x=

π

4

+kπ（k∈Z），g（x）=

2

2

sin2x+

1

2

取得最大值

2

2

+

1

2

即[g（x）]_max=

2

2

+

1

2

，相應的x=

π

4

+kπ（k∈Z）

點評：本題以向量的數量積運算為載體，求函數y=Asin（ωx+φ）+k的圖象與性質．著重考查了平面向量數量積的坐標公式和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．