Question

【題目】已知函數f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R．

（1）當m=1時，求f（x）在區間[-2，2]上的最大值和最小值．

（2）解關于x的不等式f（x）＞-1．

（3）當m＜0時，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x）＞0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最大值為4，最小值為-5； （2）當m＞0時，不等式的解集為{x|x＜-或x＞3}；當m=0時，不等式的解集為{x|x＞3}；當-時，不等式的解集為{x|3，x＜-}；當m=-時，不等式的解集為；當m＜-時，不等式的解集為{x|-＜x＜3}； （3）（-∞，-1）∪（-，0）.

【解析】

（1）當m=1時，函數f（x）在（-2，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，即可求解函數的最值．

（2）將不等式，轉化為mx2+（1-3m）x-3＞0，分類討論，即可求解不等式的解集；

（3）m＜0時，f（x）表示開口向下的拋物線，若存在x1∈（1，+∞），使得f（x1）＞0，則（1-3m）2+16m＞0，可得9m2+10m+1＞0，即可求解．

（1）當m=1時，函數f（x）=x2-2x-4在（-2，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，

所以當x=-2時，f（x）有最大值，且f（x）max=f（-2）=4+4-4=4，

當x=1時，f（x）有最小值，且f（x）min=f（1）=-5．

（2）不等式f（x）＞-1，即mx2+（1-3m）x-3＞0，

當m=0時，解得x＞3，

當m≠0時，（x-3）（mx+1）=0的兩根為3和-，

當m＞0時，-，不等式的解集為：{x|x＜-或x＞3}，

當m＜0時，3-（-）=，

∴當m＜-時，-＜3，不等式的解集為{x|-＜x＜3}，

當m=-時，不等式的解集為，

當-時，3＜-，不等式的解集為{x|3＜x＜-}，

綜上所述：當m＞0時，不等式的解集為{x|x＜-或x＞3}；

當m=0時，不等式的解集為{x|x＞3}；

當-時，不等式的解集為{x|3＜x＜-}；

當m=-時，不等式的解集為；

當m＜-時，不等式的解集為{x|-＜x＜3}．

（3）m＜0時，f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R為開口向下的拋物線，

拋物線的對稱軸為x=-=＞1，

若存在x1∈（1，+∞），使得f（x1）＞0，則（1-3m）2+16m＞0，

即9m2+10m+1＞0，解得m＜-1或-，

綜上所述：m的取值范圍是（-∞，-1）∪（-，0）．