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對任意x∈R,函數f(x)滿足f(x+1)= + ,設an=[f(n)]2-f(n),數列{an}的前15項的和為,則f(15)=　　　　.

【答案】

【解析】因為f(x+1)=+,

所以f(x+1)-=≥0,

即f(x+1)≥.

兩邊平方得[f(x+1)-]2=f(x)-[f(x)]2,

即[f(x+1)]2-f(x+1)+=f(x)-[f(x)]2,

即[f(x+1)]2-f(x+1)+[f(x)]2-f(x)=-,

即an+1+an=-,

即數列{an}的任意相鄰兩項之和為-,

所以S15=7×(-)+a15=-,即a15=-.

所以a15=[f(15)]2-f(15)=-,

解得f(15)=或f(15)=(舍去).

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同時具有下列性質：“①對任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②圖象關于直線x=

對稱”的函數可以是（　　）

A、f（x）=sin（

）

B、f（x）=sin（2x-

）

C、f（x）=cos（2x-

）

D、f（x）=cos（2x+

）

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＜2x+4的解集為（　�。�

A．（-1，1）

B．（-1，+∞）

C．（-∞，-1）

D．（1，+∞）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點的個數；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
①對任意x∈R，f（-1+x）=f（-1-x），且f（x）≥0；
②對任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

（x-1）²．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，請說明理由．
（3）若對任意x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），試證明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=

[f（x₁）+f（x₂）]成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）是定義域為R的函數，有下列命題：
①對任意x∈R，f（x+1）=f（1-x）成立，那么函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
②對任意x∈R，f（x）+f（1-x）=2成立，那么函數f（x）的圖象關于點（1，1）對稱；
③對任意x∈R，f（x）+f（x+1）=0成立，那么函數f（x）是周期為2的周期函數；
④對任意x∈R，f（1-x）+f（x-1）=0成立，那么函數f（x）是奇函數．
其中正確的命題的序號是

．（把你認為正確的命題的序號都填上）

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