Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．SD=2，AD=

2

，E是SD上的點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BE；
（Ⅱ）求二面角C-AS-D的余弦值．

Answer 1

分析：法一（Ⅰ）連接BD，證明AC垂直平面BDS內的兩條相交直線SD，BD，即可證明AC⊥平面BDS，從而證明AC⊥BE；
（Ⅱ）過點D在平面SAD內作DF⊥AS于F，連接CF．說明∠CFD是二面角C-AS-D的平面角，通過解三角形CFD求二面角C-AS-D的余弦值．
法二：以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz．
（Ⅰ）求出

AC

，

BE

，計算

AC

•

BE

=0，即可證明AC⊥BE；
（Ⅱ）求平面ACS的法向量為

n

，平面ASD的一個法向量為

DC

，計算cosθ=

n • DC

| n || DC |

=

10

5

，求出二面角C-AS-D的余弦值．

解答：解：法一（Ⅰ）連接BD．因為底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．因為SD⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，所以AC⊥SD． （2分）
又因為SD∩BD=D，所以AC⊥平面BDS． （4分）
因為BE?平面BDS，所以AC⊥BE． （6分）

（Ⅱ）因為SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD．
因為底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
又因為SD∩AD=D，所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥AS． （8分）
過點D在平面SAD內作DF⊥AS于F，連接CF．
由于，DF∩CD=D，所以AS⊥平面DCF．所以AS⊥CF．
故∠CFD是二面角C-AS-D的平面角． （10分）
在Rt△ADS中，SD=2，AD=

2

，可求得DF=

2

3

3

．
在Rt△CFD中，DF=

2

3

3

，CD=

2

，可求得CF=

30

3

．
所以cosCFD=

DF

CF

=

10

5

．即二面角C-AS-D的余弦值為

10

5

．（12分）

法二：（Ⅰ）如圖以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz．
則D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

，

2

，0），
C（0，

2

，0），E（0，0，

2

），S（0，0，2），

AC

=(-

2

，

2

，0)，

BE

=(-

2

，-

2

，

2

)． （3分）

AC

•

BE

=2-2+0=0，所以

AC

⊥

BE

．即AC⊥BE． （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

SA

=（

2

，0，-2），

SC

=（0，

2

，-2）．
設平面ACS的法向量為

n

=（x，y，z），
則由n⊥

SA

，n⊥

SC

得

n • SA =0 n • SC =0

，即

2 x-2z=0 2 y-2z=0

取z=

2

，得

n

=(2，2，

2

)． （9分）
易知平面ASD的一個法向量為

DC

=（0，

2

，0）．
設二面角C-AS-D的平面角為θ．則cosθ=

n • DC

| n || DC |

=

10

5

．
即二面角C-AS-D的余弦值為

10

5

． （12分）

點評：本題考查點、線、面間的距離計算，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質，考查空間想象能力，邏輯思維能力，利用空間直角坐標系，解答立體幾何問題，可以說是有一定的規律，要求比較高，不允許出錯．