Question

【題目】已知函數，（）.

（1）若，求在上的最小值；

（2）若對于任意的實數恒成立，求的取值范圍；

（3）當時，求函數在上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用基本不等式求解最值；

（2）轉化為對于任意的實數x恒成立，求參數的取值范圍；

（3）函數去絕對值，等價轉化為比較與的大小關系，數形結合求解.

（1）對于，，

所以，

當且僅當，即時等號成立，所以.

（2）對于任意的實數x恒成立，即對于任意的實數x恒成立，亦即對于任意的實數x恒成立，

所以，即對于任意的實數x恒成立.

又對于任意的實數x恒成立，

故只需，解得，所以的取值范圍為.

（3），

因為與的底數都同為e，外函數都單調遞增，

所以，比較與的大小關系，只須比較與的大小關系.

令，，

，其中，.

因為，所以.

令，得，由題意可得如下圖象：

（i）當，即時，，；

（ii）當，即時，，；

（iii）當，即時，，；

綜上所述，.