Question

（2008•寶山區一模）已知函數y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x．
（1）將函數化成y=Asin(ωx+?)(A＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

)的形式，并寫出最小正周期；
（2）用“五點法”作函數的圖象，并寫出該函數在[0，π]上的單調遞增區間．

Answer 1

分析：先分解因式，然后利用二倍角的余弦公式以及兩角差的余弦，化為一個角的一個三角函數的形式，y=Asin(ωx+?)(A＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

)（1）求出周期；
（2）通過列表描點，用“五點法”作函數的圖象，求出函數[0，π]的單調增區間．

解答：解：y=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）．
（1）該函數的最小正周期是π；  
（2）列表：

2x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 12	π 3	7π 12	5π 6	13π 12
2sin（2x- π 6 ）	0	2	0	-2	0

描點作圖：

單調遞增區間是[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]

點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，同角三角函數間的基本關系，二倍角的正弦，二倍角的余弦，正弦函數的單調性，三角函數的最值，把三角函數式化簡為y=Asin（ωx+φ）+k（ω＞0）是解決周期、最值、單調區間問題的常用方法．