Question

如圖所示,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標準方程;

(2)過B1作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.

 

Answer 1

【答案】

(1) +=1 (2)

【解析】

解:(1)設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),焦距為2c,則A(0,b),|OB1|=|OB2|=.

由=4得·c·b=4,

即bc=8.①

又△AB1B2是直角三角形,

且|OB1|=|OB2|,∴b=.②

由①②可得b=2,c=4.

∴a2=20.

∴橢圓的標準方程為+=1,離心率e==.

(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).

由題意知,直線PQ的傾斜角不為0,

故可設直線PQ的方程為x=my-2.

代入橢圓方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*)

設P1(x1,y1),P2(x2,y2),

則y1,y2是方程(*)的兩根.

∴y1+y2=,y1·y2=-.

又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).

∴·=(x1-2)(x2-2)+y1y2

=(my1-4)(my2-4)+y1y2

=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16

=--+16

=-.

由PB2⊥B2Q知·=0,

即-=0,

16m2-64=0,解得m=±2.

當m=2時,y1+y2=,y1y2=-,

|y1-y2|==.

=|B1B2|·|y1-y2|=.

當m=-2時,由橢圓的對稱性可得=.

綜上所述,△PB2Q的面積為.