Question

已知橢圓=1上任意一點P，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在線段PQ上，且=2，點M的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若過定點F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點G，H（點G在點F，H之間），且滿足=2，求直線l的方程.

Answer 1

（1）+y²=1（2）y=±x+2

解析:

（1）設M（x,y）,P(x₀,y₀),

∵=2，∴

將其代入橢圓方程得=1

得曲線E的方程為：+y²=1.

(2)設G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂），

∵=2，∴x₂=2x₁                                                                                                                                                                         ①

依題意，當直線l斜率不存在時，G（0，1），H（0，-1），不滿足=2.故設直線l:y=kx+2,代入曲線E的方程并整理得（1+2k²）x²+8kx+6=0,                                          （*）

∴x₁+x₂=-,x₁·x₂=                                                                                                         ②

聯立①②解得k=±,此時（*）中Δ＞0.

所以直線l的方程為：y=±x+2.