Question

【題目】已知定義在上的奇函數滿足，且時，甲，乙，丙，丁四位同學有下列結論：

甲：；

乙：函數在上是增函數；

丙：函數關于直線對稱；

丁：若，則關于的方程在上所有根之和為其中正確的是（ ）．

A. 甲，乙，丁 B. 乙，丙 C. 甲，乙，丙 D. 甲，丁

Answer 1

【答案】D

【解析】∵，是定義在上的奇函數，

∴，關于直線對稱，

根據題意，畫出的簡圖，如圖所示：

甲：，故甲同學結論正確；

乙：函數在區間上是減函數，故乙同學結論錯誤；

丙：函數關于中心對稱，故丙同學結論錯誤；

丁：若由圖可知，關于的方程在上有個根，

設為，，，，

則，，

∴，

所以丁同學結論正確．

∴甲、乙、丙、丁四位同學結論正確的是甲、丁，

故選．

點睛:本題考查函數的性質應用以及函數的零點問題,屬于中檔題目.根據已知函數為奇函數以及函數的周期,可得關于直線對稱，結合時，畫出函數的圖象,進而可得函數的單調性,對稱性,特殊值以及y=m與y=f(x)的交點情況, 即關于的方程在上所有根之和.