Question

【題目】由單位正方形組成的無限格陣的每個單位正方形內都寫有一個整數.若每個方格內的整數等于其上方和左方與其相鄰的兩個方格內的整數之和，且存在一行，其中，所有方格內的數都是正整數.記下面一行為，下面一行為，證明：對于每個正整數，上不能有個方格內的整數都是0.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

為敘述方便，在格陣中任取一列稱為第0列，從第0列向左依次為第列，第列，從第0列向右依次為第1列，第2列，

記行的第列格內的數為.

由題設知， ①

且. ②

記函數.

首先證明一個引理.

引理：對確定的，可把整數集劃分成至多個區間，使得在這個區間內分別單調，且在相鄰兩個區間內的單調性不同.

證明：對用數學歸納法.

當時，由式①，②知在上單調遞增.結論成立.

假設當時結論成立。

現考慮的情形.

由歸納假設，可把劃分成至多個區間，使得在這個區間內分別單調且在相鄰兩區間內單調性不同.

依次考慮每個區間.

由于在每個區間內單調，于是，或者可在區間中某兩個整數間插入一個“分隔符”，使得這個區間被分成兩個子區間，在每個子區間內取值同號，而兩個子區間異號；或者在整個區間內取值同號（此時不插入分隔符），這樣一共至多插入個分隔符，它們把劃分成個區間，在每個區間內取值同號，在相鄰兩個區間內取值異號.

由式①知，若在區間上取值同號，則在同一個區間上單調，且單調性與在上取值的符號有關（正則增，負則減）.

于是，當，時，結論成立.

回到原題.

由引理，可把劃分成至多個區間，使得在這個區間內分別單調，且在相鄰兩個區間內的單調性不同.

而在任一個單調區間內至多一處取0，則至少有個根.再由的定義知，行上至多有個方格內的整數是0.