Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,DAB為直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點.
（Ⅰ）試證：CD⊥平面BEF;
（Ⅱ）設PA＝k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范圍.

Answer 1

解：（I）證明：由已知DF∥AB且∠DAB為直角．故ABFD是矩形．
從而CD⊥BF．又PB⊥底面ABCD，CD⊥AD，
故由三垂線定理知CD⊥PD．
在△PDC中， E、F分別為PC、CD的中點，故EF∥PD，
從而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF．
（II）連接AC交BF于G，易知G為AC的中點，連接EG，
則在△PAC中易知EG∥PA．
因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD．
在底面ABCD中，過G作GH⊥BD．垂足為H，連接EH，
由三垂線定理知EH⊥BD．從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角．
設AB=α則在△PAC中，有EG= PA= kα
以下計算GH，考慮底面的平面圖，連接GD，
因S_△CBD= BD·GH= GB·DF 故GH= ．
在△ABD中，因AB=a．AD=2a．得BD=a．
而GB= FB= AD=a，DF=AB，
從而得GH= = =．
因此，．
由k＞0知∠EHG是銳角．
故要使∠EHG＞30°，必須 ＞tan30°=，
取值范圍為k＞

解法二：（Ⅰ）如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為：軸建立空間直角坐標系，
設AB=a,則易知點A,B,C,D,F的坐標分別為A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).
從而=(2a,0,0), =(0,2a,0),    ·=0,
故
設PA=b,則P(0,0,b),而E為PC中點.
故E從而=·=0故⊥
  由此得CD⊥面BEF
（Ⅱ）設E在xOy平面上的投影為G，過G作GHBD垂足為H,
由三垂線定理知EH⊥BD.從而∠EHG為二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).
設H(x,y,0)，則=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a      ①
又因=(x,a,y,0),且與的方向相同，故＝，
即2x+y=2a      ②
由①②解得x=a,y=a,從而＝，｜｜＝a.

由k＞0知，∠EHC是銳角，
由∠EHC＞得tanEHG＞tan
即＞故k的取值范圍為k＞.