Question

【題目】某省2016年高中數學學業水平測試的原始成績采用百分制，發布成績使用等級制．各等級劃分標準如下：85分及以上，記為A等；分數在[70，85）內，記為B等；分數在[60，70）內，記為C等；60分以下，記為D等．同時認定A，B，C為合格，D為不合格．已知某學校學生的原始成績均分布在[50，100]內，為了了解該校學生的成績，抽取了50名學生的原始成績作為樣本進行統計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出樣本頻率分布直方圖如圖所示．

（Ⅰ）求圖中x的值，并根據樣本數據估計該校學生學業水平測試的合格率；
（Ⅱ）在選取的樣本中，從70分以下的學生中隨機抽取3名學生進行調研，用X表示所抽取的3名學生中成績為D等級的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知，10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，

∴x＝0.004．

∴合格率為1－10×0.004＝0.96．

（Ⅱ）樣本中C等級的學生人數為0.012×10×50＝6，

而D等級的學生人數為0.004×10×50＝2．

∴隨機抽取3人中，成績為D等級的人數X的可能取值為0，1，2，

∴ ， ， ，

∴X的分布列為

x	0	1	2
P

數學期望

【解析】（Ⅰ）樣本中各類事件的頻率之和等于1，并注意縱坐標表示的是頻率除以組距，因此在求頻率時需要乘以組距，由此可列等式10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1;
（Ⅱ）70分以下的學生包括C等級的學生和D等級的學生，并且樣本中某事件發生的總數為頻率乘以樣本總量，由此可求得樣本中C等級的學生人數為0.012×10×50＝6，而D等級的學生人數為0.004×10×50＝2，70分以下的學生人數為6+2=8人；從70分以下的學生中隨機抽取的3名學生中，成績為D等級的人數可能為0、1、2,由此求出答案.
【考點精析】認真審題，首先需要了解頻率分布直方圖(頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息)．