Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 滿足Sn=2﹣an（n∈N*）．數列{bn}滿足（2n﹣1）bn+1﹣（2n+1）bn=0（n∈N*），且b1=1．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）設cn=anbn ， 求數列{cn}的前n項和為Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：數列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=2﹣an（n∈N*）．

得到：Sn+1=2﹣an+1，

則：an+1=an﹣an+1，

整理得：

所以：數列{an}是以1為首項， 為公比的等比數列

則： ．

數列{bn}滿足（2n﹣1）bn+1﹣（2n+1）bn=0（n∈N*），

則： ，

所以：數列{ }是常數列．

則：{bn}的通項公式為：bn=2n﹣1

（2）解：由（1）得：

cn=anbn= ，

則： +…+ ①

所以： +…+ ②

則：①﹣②得： ）﹣ ，

整理得：Tn=

【解析】（1）根據an=Sn+1Sn可得出=，從而確定數列是一個等比數列；構造數列可求出bn；（2）利用錯位相減法求和法即可.
【考點精析】本題主要考查了等比關系的確定和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．