Question

如圖，E、F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，沿EF將△AEF折起到△A′EF的位置，連接A′B、A′C，P為A′C的中點．
（1）求證：EP∥平面A′FB．
（2）求證：平面A′EC⊥平面A′BC．

Answer 1

分析：（1）欲證EP∥平面A′FB關鍵在平面A′FB內找一直線與EP平行，由E、P分別為AC、A′C的中點，
可得EP平行與面A′FB內一直線A′A．
（2）欲證平面A′EC⊥平面A′BC，即證BC⊥平面A′EC，根據面面垂直的判定定理可知一平面經過另
一平面的垂線，則這兩個面垂直．

解答：證明：（1）∵E、P分別為AC、A′C的中點，
∴EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，而EP?平面AA′B，
∴故有 EP∥平面A′FB．
（2）∵E、F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，
∴EF∥BC．
∵BC⊥AC，EF⊥AE，故EF⊥A′E，∴BC⊥A′E．
而A′E與AC相交，∴BC⊥平面A′EC．
又BC?平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′EC．

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，證明直線和平面平行的方法，正明平面和平面垂直的方法，
考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．