Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，以E的四個頂點為頂點的四邊形的面積為4 ． （Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為橢圓E的左、右頂點，P是直線x=4上不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M、N，試探究，點B是否在以MN為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意得 = ， 2a2b=4 ，又a2=b2+c2 ， 由此解得a=2，b= ． 所以橢圓E的方程為 =1．
（Ⅱ）點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．證明如下：
方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．設(shè)M（x0 ， y0）．
∵M(jìn)點在橢圓上，∴y02= （4﹣x02）． ①
又點M異于頂點A、B，∴﹣2＜x0＜2．
由P、A、M三點共線可以得P ．
從而 =（x0﹣2，y0）， = ．
∴ =2x0﹣4+ = （x02﹣4+3y02）． ②
將①代入②，化簡得 = （2﹣x0）．
∵2﹣x0＞0，∴ ＞0，于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
則﹣2＜x1＜2，﹣2＜x2＜2，又MN的中點Q的坐標(biāo)為 ，
依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差
|BQ|2﹣ |MN|2= + ﹣ [（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2]
=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2 ③
直線AP的方程為y= （x+2），直線BP的方程為y= （x﹣2），
而兩直線AP與BP的交點P在直線x=4上，
∴ = ，即y2= ④
又點M在橢圓上，則 =1，即y12= （4﹣x12） ⑤
于是將④、⑤代入③，化簡后可得|BQ|2﹣ |MN|2= （2﹣x1）（x2﹣2）＜0．

【解析】（Ⅰ）依題意得 = ， 2a2b=4 ，又a2=b2+c2 ， 由此解得a，b．即可得出．（Ⅱ）點B在以MN為直徑的圓內(nèi)．分析如下： 方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．設(shè)M（x0 ， y0）．又點M異于頂點A、B，可得﹣2＜x0＜2．由P、A、M三點共線可以得P．可得 ＞0，即可證明．方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差．|BQ|2﹣ |MN|2=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2 ， 兩直線AP與BP的交點P在直線x=4上，可得 = ，化簡后可得|BQ|2﹣ |MN|2＜0，即可證明．