Question

已知f(x)＝x³＋mx²－x＋2(m∈R)
如果函數的單調減區間恰為(－，1)，求函數f(x)的解析式；
(2)若f(x)的導函數為f '(x)，對任意x∈(0，＋∞)，不等式f '(x)≥2xlnx－1恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)＝x³－x²－x＋2
（2）m的取值范圍是[ln2－ln3e，＋∞).

(1)f '(x)＝3x²＋2mx－1，
由題意，f '(x)＝3x²＋2mx－1＜0的解集是(－，1)，
即3x²＋2mx－1＝0的兩根分別為－，1，將x＝1或－代入方程3x²＋2mx－1＝0得m＝－1，
∴f(x)＝x³－x²－x＋2，
(2)由題意知3x²＋2mx－1≥2xlnx－1在x∈(0，＋∞)恒成立，
即m≥lnx－x在x∈(0，＋∞)恒成立，
設h(x)＝lnx－x，則h'(x)＝－，
令h'(x)＝0得x＝，
當0＜x＜時，h'(x)＞0；當x＞時，h'(x)＜0，
∴當x＝時，h(x)取得最大值為ln－1＝ln2－ln3e，
表明m≥ln2－ln3e，
因此m的取值范圍是[ln2－ln3e，＋∞).