Question

某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同．為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？

Answer 1

分析：設2001年末汽車保有量為b₁萬輛，以后各年末汽車保有量依次為b₂萬輛，b₃萬輛，，每年新增汽車x萬輛，依題意可知b₁=30，根據題意可表示出關于b_n的遞推式，利用等比數列的求和公式求得b_n+1，判斷出數列的單調性，然后利用數列的極限求得問題的答案．

解答：解：設2001年末汽車保有量為b₁萬輛，以后各年末汽車保有量依次為b₂萬輛，b₃萬輛，，每年新增汽車x萬輛，則b₁=30，
對于n＞1，有
b_n+1=b_n×0.94+x
=b_n-1×0.94²+（1+0.94）x
所以b_n+1=b₁×0.94ⁿ+x（1+0.94+0.94²+…+0.94ⁿ）
=b1×0.94n+

1-0.94n

0.06

x=

x

0.06

+(30-

x

0.06

)×0.94n
當30-

x

0.06

≥0，即x≤1.8時b_n+1≤b_n≤≤b₁=30．
當30-

x

0.06

＜0，即x＞1.8時
數列{b_n}逐項增加，
可以任意靠近

x

0.06

lim

n→+∞

bn=

lim

n→+∞

[

x

0.06

+(30-

x

0.06

)×0.94n-1]=

x

0.06

因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即b_n≤60（n=1，2，3，）
則

x

0.06

≤60，即x≤3.6萬輛
綜上，每年新增汽車不應超過3.6萬輛．

點評：本題主要考查了數列的應用，以及數列與不等式的綜合．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．