Question

橢圓與雙曲線有許多優美的對偶性質，對于橢圓有如下命題：已知A、F、B分別是優美橢圓+=1（a＞b＞0）（離心率為黃金分割比的橢圓）的左頂點、右焦點和上頂點，則AB⊥BF．那么對于雙曲線則有如下命題：已知A、F、B分別是優美雙曲線-=1（a＞b＞0）（離心率為黃金分割比的倒數的雙曲線）的左頂點、右焦點和其虛軸的上端點，則有（ ）
A．AB⊥BF
B．AF⊥BF
C．AB⊥AF
D．AB∥BF

Answer 1

【答案】分析：根據圖象可知AB²=a²+b²=c²，BF²=b²+c²=2c²-a²，進而根據=求得AF²=c²，進而表示出AB²+BF²，最后可得AF²=AB²+BF²，根據勾股定理判斷出AB⊥BF．
解答：解：如圖，AB²=a²+b²=c²，BF²=b²+c²=2c²-a²，
∵=，
∴=，
∴AF²=（c+c）²=c²=c²，
而AB²+BF²=c²+2c²-a²=3c²-（c）²=3c²-c²=c²，
∴AF²=AB²+BF²，故AB⊥BF．
故選A
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．要利用好雙曲線標準方程中的a，b和c的關系．