Question

已知函數，，其中．   

（1）設函數，若在區間是單調函數，求的取值范圍；

（2）設函數，是否存在，對任意給定的非零實數，存在惟一的非零實數（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）因    ……1分

， ∵在區間上單調     

恒成立   ……2分

   恒成立

設

令有，記 

由函數的圖像可知，在上單調遞減，在上單調遞增，……4分

∴，于是   ……5分

∴                    ……6分

（2）當時有；   ……7分

當時有，因為當時不合題意，因此，……8分

下面討論的情形，

記  求得  A，B=

（ⅰ）當時，在上單調遞增，所以要使成立，只能且，因此有   ……9分

（ⅱ）當時，在上單調遞減，所以要使成立，只能且，因此    ……11分

綜合（ⅰ）（ⅱ）       ……12分

當時A=B，則，即使得成立，

因為在上單調遞增，所以的值是唯一的；…13分

同理，，即存在唯一的非零實數，要使成立，

所以滿足題意.   …14分

【解析】本試題主要是考查導數在研究函數中的運用。

（1）根據函數在給定區間單調遞增，則可以利用導函數恒大于等于零，分離參數的思想求解參數的范圍，

（2）分別分析函數f(x)和g(x)的性質得到單調性，進而確定是否存在點滿足已知條件來求解得到。