Question

函數的圖象上一個最高點的坐標為，與之相鄰的一個最低點的坐標為．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）求f（x）在處的切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據三角函數周期的公式，算得ω=2．由圖象上的最大、最小值的點組成方程組，解出A=2，B=1．最后根據函數的最大值點代入，結合可得φ=，從而得出f（x）的表達式；
（II）由導數的運算公式與法則，得所求切線的斜率，而當x=時函數值，利用直線的點斜式方程列式，化簡整理即可得到f（x）在處的切線方程．
解答：解：（Ⅰ）依題意，得，所以T=π，
∴…（1分）
又∵，∴解之得…（3分）
再把代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，
可得，所以（k∈Z），
所以，
因為，所以取k=0得…（5分）
綜上所述，f（x）的表達式為：…（6分）
（Ⅱ）因為f（x）的導數為…（8分）
∴所求切線的斜率…（9分）
而…（10分）
∴f（x）在處的切線方程為
化簡，得…（12分）
點評：本題給出y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要求確定其解析式并求圖象上某點處的切線方程，著重考查了三角函數的圖象與性質和導數的幾何意義等知識，屬于中檔題．