Question

【題目】已知定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足下列條件：①f（x）不恒為0；②對任意的正實數x和任意的實數y都有f（xy）=yf（x）．

（1）求證：方程f（x）=0有且僅有一個實數根；

（2）設a為大于1的常數，且f（a）＞0，試判斷f（x）的單調性，并予以證明；

（3）若a＞b＞c＞1，且，求證：f（a）f（c）＜[f（b）]2．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）先令y=0，求出方程的實數根，再證明即可.

（2）由條件f（a）＞0，根據單調性的定義即可證明f（x）在上是增函數.

（3）根據不等式的性質即可證明f（a）f（c）＜[f（b）]2．

（1）證明：令y=0，∵對任意的正實數x和任意的實數y都有f（xy）=yf（x）．

則f（1）=0，因此x=1是方程f（x）=0一個實數根．

先證明以下結論：

設0＜a，a≠1時，假設x，y＞0，則存在m，n，使x=am，y=an，

∵對任意的正實數x和任意的實數y都有f（xy）=yf（x）．

∴f（xy）=f（aman）=f（am+n）=（m+n）f（a），

f（x）+f（y）=f（am）+f（an）=mf（a）+nf（a）=（m+n）f（a）．

則f（xy）=f（x）+f（y）．

令y=0，則f（x）=0，

若方程f（x）=0還有一個實數根，可得f（x）≡0．

與已知f（x）不恒為0矛盾．

因此：方程f（x）=0有且僅有一個實數根；

（2）設xy=ac，則y=logxac，

∴設x0∈（0，1），則f（）=（logax0）f（a）＜0，

設x1，x2為區間（0，+∞）內的任意兩個值，且x1＜x2，則0＜＜1，

由（1）可得：

f（x1）﹣f（x2）=f（x2）﹣f（x2）=f（）+f（x2）﹣f（x2）=f（）＜0

所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上是增函數．

（3）設xy=ac，則y=logxac，

∴f（ac）=f（xy）=yf（x）=（logxac）f（x）

=（logxa+logxc）f（x）=（logxa）f（x）+（logxc）f（x）

=f（/span>）+f（）=f（a）+f（c）

∵b2=ac，

∴f（b2）=f（ac），

即2f（b）=f（a）+f（c），

f（b）= [f（a）+f（c）]，

∴[f（b）]2﹣f（a）f（c）=[]2﹣f（a）f（c）=[]2，

下面證明當x≠1時，f（x）≠0．

假設存在x≠1，f（x0）=0，則對于任意x≠1，f（x）=f（）=（logx）f（x0）=0

不合題意．所以，當x≠1時，f（x）≠0．

因為a＞b＞c＞1，所以存在m≠1，

f（a）﹣f（c）=f（）﹣f（）=（logma﹣logmc）f（m）≠0，

所以f（a）≠f（c），所以f（a）f（c）＜f2（b）．