Question

已知函數f（x）=mx-lnx-3（m∈R）．
（1）討論函數f（x）在定義域內的極值點的個數；
（2）若函數f（x）在x=1處取得極值，存在x∈（0，+∞）使f（x）≤nx-4有解，求實數n的取值范圍；
（3）當0＜a＜b＜4且b≠e時試比較

1-lna

1-lnb

與

a

b

．

Answer 1

分析：（1）f′(x)=m-

1

x

=

mx-1

x

 (x＞0)，由此進行分類討論，能求出函數f（x）在定義域內的極值點的個數．
（2）由函數f（x）在x=1處取得極值，知m=1，故f（x）≥nx-4?n≥1-

lnx

x

+

1

x

，由此能求出實數n的取值范圍．
（3）由于0＜a＜b＜4且b≠e，則

1-lna

a

＞

1-lnb

b

，
又由（2）可知，g(x)=1+

1-lnx

x

在 （0，4）上是減函數，由此能夠比較

1-lna

1-lnb

與

a

b

的大小關系．

解答：解：（1）f′(x)=m-

1

x

=

mx-1

x

 (x＞0)
當m≤0時，f'（x）＜0無極值
當m＞0時，f'（x）=0時x=

1

m

，
則函數f（x）在區間(0，  

1

m

)上單調遞減，在區間( 

1

m

，+∞ )上單調遞增．
∴x=

1

m

為極小值點，無極大值點
（2）f'（1）=m-1=0，∴m=1，∴f（x）=x-lnx-3
由題意知，x-ln3-3≤nx-4在x∈（0，+∞）有解
∴n≥1-

lnx

x

+

1

x

有解，
令g(x)=1-

lnx

x

+

1

x

，即n≥g（x）_min，g′(x)=-

2-lnx

x2

則函數f（x）在區間（0，e²）上單調遞減，在區間（e²，+∞）上單調遞增．
∴g(x)min=g(e2)=1-

2

e2

+

1

e2

=1-

1

e2

∴n≥1-

1

e2

（3）由 （2）知g(x)=1+

1-lnx

x

在 （0，4）上是減函數
∵0＜a＜b＜4，∴g（a）＞g（b）
∴

1-lna

a

＞

1-lnb

b

，∴b（1-lna）＞a（1-lnb）
當0＜b＜e時，1-lnb＞0，∴

1-lna

1-lnb

＞

a

b

；
當e＜b＜4時，1-lnb＜0，∴

1-lna

1-lnb

＜

a

b

點評：本題考查函數的求極值點的個數的求法，考查滿足條件的實數的求法，考查不等式的證明．解題時要合理運用導數性質，注意等價轉化思想和分類討論思想的靈活運用．