Question

已知拋物線P的方程是x²=4y，過直線l：y=-1上任意一點A作拋物線的切線，設切點分別為B、C．
（1）證明：△ABC是直角三角形；
（2）證明：直線BC過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）設A（m，-1），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用導數的幾何意義可得

y1+1

x1-m

=

1

2

x₁，化簡得 x12-2mx₁-4=0．同理可得 x22-2mx₂-4=0，故有 x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-4．計算AB和AC的斜率之積等于-1，從而得到AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
（2）求得BC所在的直線方程為 y-y₁=

y1-y2

x1-x 2

（x-x₁），化簡為y=

1

2

mx+1，顯然過定點（0，1）．

解答：解：（1）證明：設A（m，-1），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
∵拋物線P的方程是x²=4y，∴y′=

1

2

x．
∴

y1+1

x1-m

=

1

2

x₁，∴

1

4

x12+1=

1

2

x12-

1

2

mx₁，∴x12-2mx₁-4=0．
同理可得，x22-2mx₂-4=0，∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-4．
∵K_AB•K_AC=

1

2

x₁•

1

2

x₂=

1

4

•x1•x 2=-1，
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
（2）證明：BC所在的直線方程為 y-y₁=

y1-y2

x1-x 2

（x-x₁），
化簡可得 y-

1

4

x12=

1

4

（x₁+x₂）（x₁-x₂），即 y=

1

2

mx+1，
顯然，當x=0時，y=1，故直線BC過定點（0，1）．

點評：本題主要考查函數的導數的幾何意義，判斷兩條直線垂直的方法，直線過定點問題，屬于中檔題．