Question

已知拋物線C的方程為y²=2x，焦點為F，
（1）若C的準線與x軸的交點為D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且|

.

FA

|=2|

.

FB

|，求直線l的斜率；
（2）設點P是C上的動點，點R，N在y軸上，圓M：（x-1）²+y²=1內切于△PRN，求△PRN面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，得x1-2x2=

1

2

，將直線與拋物線方程聯立可得x₁+x₂，x₁x₂ 的值，解出x₁，x₂，從而問題得解．
（2）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線PR的方程可得，由題設知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，把x₀，y₀代入化簡整理可得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，進而可知b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據求根公式，可求得b-c，進而可得△PRN的面積的表達式，根據均值不等式可知當當x₀=4時面積最小，進而求得點P的坐標．

解答：解：（1）由拋物線C的方程為y²=2x，得其焦點F（

1

2

，0），
準線方程為x=-

1

2

，所以D（-

1

2

，0），
由題意設直線l的斜率為k（k≠0），則直線l的方程為y=kx+

k

2

．
聯立

y=kx+ k 2 y2=2x

，得4k²x²+（4k²-8）x+k²=0．
設直線l與C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2

k2

-1，x1x2=

1

4

①
由|

.

FA

|=2|

.

FB

|，得x1-2x2=

1

2

②
由①②解得x1=1，x2=

1

4

，k=±

2 2

3

．
代入△=（4k²-8）²-16k⁴中大于0成立，
所以k=±

2 2

3

；
（2）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由題設知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，
即

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化簡上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，
根據求根公式，可得b-c=

4x02+4y02-8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．
故△PRN的面積為S=

1

2

(b-c)x0=

x02

x0-2

=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥2

(x0-2)• 4 x0-2

+4=8，
等號當且僅當x₀=4時成立．此時點P的坐標為（4，2

2

）或（4，-2

2

）．
綜上所述，當點P的坐標為（4，2

2

）或（4，-2

2

）時，△PRN的面積取最小值8．

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程和直線與拋物線的關系，直線與圓錐曲線的問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點，如直線被圓錐曲線截得的弦長，中點弦問題，垂直問題，對稱問題等，與圓錐曲線的性質有關的量的范圍問題是常見題型，此題是有一定難度題目．