Question

已知橢圓C：3x²＋4y²＝12，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y＝4x＋m，橢圓上有不同的兩點A、B關于這條直線對稱．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設橢圓上關于l對稱的兩點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線方程為y＝x＋b，代入橢圓方程，得13x2－8bx＋16b2－48＝0． 　　∵x1≠x2， 　　∴△＝64b2－4×13(16b2－48)＞0， 　　即4b2－13＜0，＜b＜． 　　又x1＋x2＝，． 　　∴y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b，b． 　　而線段AB的中點在直線l上， 　　∴b＝＋m，m＝b． 　　∴m∈(，)． 　　解法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，則 　　3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 　　＝＝＝． 　　∴y0＝3x0．又M(x0，y0)在直線l上， 　　∴解得 　　∵點M(－m，－3m)在橢圓內部，∴3(－m)2＋4(－3 m)2＜12，即＜m＜． 　　∴m的取值范圍為m∈(，)． 　　解析：解法一：對稱的實質，一是直線AB與l垂直，二是線段AB的中點在l上，故可設出直線AB的方程，與橢圓聯立，利用判別式求解． 　　解法二：因為存在關于l對稱的兩點A、B，所以AB的中點在l上，由直線AB與直線l垂直，知kAB＝，故可用“點差法”求出AB中點M的坐標，然后利用點M在橢圓內部去求解．

提示：

解法一是一般解法，而解法二是充分利用對稱的特點，利用“點差法”求解，減少了運算量．