Question

已知橢圓C:3x²+4y²=12,試確定m的取值范圍,使得對于直線l:y=4x+m,橢圓上有不同的兩點A、B關于這條直線對稱.

Answer 1

分析:對稱的實質,一是直線AB與l垂直,二是線段AB的中點在l上,故可設出直線AB的方程,與橢圓聯立,利用判別式求解.

解法一:設橢圓上關于l對稱的兩點為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB所在直線方程為y=x+b,代入橢圓方程,得13x²-8bx+16b²-48=0.

∵x₁≠x₂,

∴Δ=64b²-4×13(16b²-48)＞0,

即4b²-13＜0,＜b＜.

又x₁+x₂=,=,

∴y₁+y₂=(x₁+x₂)+2b,=b.

而線段AB的中點在直線l上,

∴b=+m,m=b.

∴m∈(,).

解法二:因為存在關于l對稱的兩點A、B,∴AB的中點在l上,由直線AB與直線l垂直,知k_AB=,故可用“點差法”求出AB中點M的坐標,然后利用點M在橢圓內部去求解.

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB的中點M(x₀,y₀),則

3(x₁+x₂)(x₁-x₂)+4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0,

.

∴y₀=3x₀.又M(x₀,y₀)在直線l上,

∴

解得

∵點M(-m,-3m)在橢圓內部,

∴3(-m)²+4(-3m)²＜12,即＜m＜.

∴m的取值范圍為m∈(,).