Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的單調區間和極值；

（2）若方程有三個解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）調遞減區間是，單調遞增區間是，的極小值為，無極大值（2）

【解析】

（1）求出，求解不等式，得出單調區間，進而求出極值；

（2）設，有三個零點，至少有三個單調區間，求出，對分類討論，求出至少有三個單調區間的范圍， 再結合零點存在性定理，確定區間存在零點的不等量關系，即可求解.

（1），令，解得，

當時，；當，.

所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是，

所以的極小值為，無極大值.

（2）設，

即，

.

①若，則當時，，單調遞減；

當時，，

單調遞增，至多有兩個零點.

②若，則，，

（僅），單調遞增，至多有一個零點.

③若，則，當或時，

，單調遞增；當時，，單調遞減，

要使有三個零點，必須有成立，

由，得，

這與矛盾，所以不可能有三個零點.

④若，則，當或時，，

單調遞增：當時，，單調遞減，

要使有三個零點，必須有成立，

由，得，

由及，

得，∴.

且當時，，，

，

.

綜上，的取值范圍為.