【題目】已知函數
在
處取得極值.
（1）若
，求函數
的單調區間；
（2）若
，函數
，若存在
、
，使得
成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】
（1）由
可得出
，令
得出
，
，然后討論
與
的大小關系，結合導數可得出函數
的單調增區間和減區間；
（2）利用導數求得函數在區間
上的最大值為
，利用二次函數的基本性質得出函數
在區間上的最小值為
，由此可得出
，進而可解得實數
的取值范圍.
（1）函數的定義域為
，
，
由題意可知，
，則，
，
令
，則，.
因為
是函數的極值點，所以
，即
.
①當
時，即當
時，解不等式
，得
或
；解不等式
，解得
.
此時，函數的單調遞增區間為
和
，單調遞減區間為
；
②當
時，即當
時，解不等式，得
或
；解不等式，解得
.
此時，函數的單調遞增區間為
和
，單調遞減區間為
.
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
（2）當
時，函數在
上為增函數，在
為減函數，
所以，函數的最大值為，
因為函數在上是單調遞增函數，
所以，函數的最小值為，
所以，
在上恒成立.
要使存在
、
，使得
成立，
只需要，即
，所以
.
又因為，所以實數的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】共享單車又稱為小黃車，近年來逐漸走進了人們的生活，也成為減少空氣污染，緩解城市交通壓力的一種重要手段．為調查某地區居民對共享單車的使用情況，從該地區居民中按年齡用隨機抽樣的方式隨機抽取了
人進行問卷調查，得到這人對共享單車的評價得分統計填入莖葉圖，如下所示（滿分
分）：
（1）找出居民問卷得分的眾數和中位數；
（2）請計算這位居民問卷的平均得分；
（3）若在成績為
分的居民中隨機抽取
人，求恰有
人成績超過
分的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，半圓
是某個旅游景點的平面示意圖，為了保護景點和方便游客觀賞，管理部門規劃從公路
上某點
起修建游覽線路
，
、
、
分別與半圓相切，且四邊形
是等腰梯形．已知半圓半徑
百米，每修建1百米游覽道路需要費用為20萬元，設與圓的切點為
，
（單位：弧度）．
（1）試將修建游覽道路所需費用
表示為
的函數；
（2）試求修建游覽道路所需最少費用為多少萬元？（精確到0.1，參考數據：
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（Ⅰ）若函數
，求函數
的單調區間；
（Ⅱ）設直線l為函數
的圖象上一點
處的切線，證明：在區間
上存在唯一的
，使得直線l與曲線
相切并求出此時n的值.（參考數據：
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校在圓心角為直角，半徑為
的扇形區域內進行野外生存訓練.如圖所示，在相距的
，
兩個位置分別為300,100名學生，在道路
上設置集合地點
，要求所有學生沿最短路徑到點集合，記所有學生進行的總路程為
.
（1）設
，寫出
關于
的函數表達式；
（2）當最小時，集合地點離點多遠？
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