Question

選修4-5：不等式選講
已知關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜3a²-7a+4．
（1）當a=2時，解上述不等式；
（2）如果關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜23a2-7a+4的解集為空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2，分當x＜3時、當3≤x≤4時、當x＞4時三種情況，分別求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（2）|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，故由題意可得不等式1＜23a2-7a+4的解集為空集．故當3a²-7a+4≤0時，不等式的解集為空集，由此求得a的取值范圍．

解答：解：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2，
當x＜3時，原不等式化為7-2x＜2， 解得 x＞

5

2

，∴

5

2

＜x＜3．
當3≤x≤4時，原不等式化為1＜2恒成立，∴3≤x≤4．
當x＞4時，原不等式化為2x-7＜2， 解得 x＜

9

2

，∴4＜x＜

9

2

．
綜上，原不等式解集為{x|

5

2

＜x＜

9

2

}．…（6分）
（2）∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，故由題意可得不等式1＜23a2-7a+4的解集為空集．
∴當3a²-7a+4≤0時，關于x的不等式|x-3|+|x-4| ＜23a2-7a+4的解集是空集，
即有1≤a≤

4

3

，
∴a的取值范圍是[1，

4

3

]．…（10分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現了轉化及分類討論的數學思想，屬于中檔題．