Question

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點C在l上．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設過點P，且斜率為-

3

的直線與曲線M相交于A，B兩點．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；
（ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件直接代入拋物線的標準方程即可．
（Ⅱ）（i）先求出點A，B的坐標，再把點C設出來，利用△ABC為正三角形對應的|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，看能否求出點C的坐標即可．
（ii）分三種情況分別求當△ABC為鈍角三角形時，對應點C的縱坐標的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意，曲線M是以點P為焦點，
直線l為準線的拋物線，所以曲線M的方程為y²=4x．
（Ⅱ）（i）由題意得，
直線AB的方程為y=-

3

(x-1)由

y=- 3 (x-1) y2=4x

消y得3x²-10x+3=0，解得x1=

1

3

，x2=3．
所以A點坐標為(

1

3

，

2 3

3

)，
B點坐標為（3，-2

3

），|AB|=x1+x2+2=

16

3

．
假設存在點C（-1，y），
使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即①②

(3+1)2+(y+2 3 )2=( 16 3 )2 ( 1 3 +1)2+(y- 2 3 )2=( 16 3 )2

由①-②得42+(y+2

3

)2=(

4

3

)2+(y-

2 3

3

)2，
解得y=-

14 3

9

．
但y=-

14 3

9

不符合①，
所以由①，②組成的方程組無解．
因此，直線l上不存在點C，
使得△ABC是正三角形．
（ii）設C（-1，y）使△ABC成鈍角三角形，
由

y=- 3 (x-1) x=-1

得y=2

3

，
即當點C的坐標為（-1，2

3

）時，A，B，C三點共線，
故y≠2

3

．
又|AC|2=(-1-

1

3

)2+(y-

2 3

3

)2=

28

9

-

4 3 y

3

+y2，
|BC|2=(3+1)2+(y+2

3

)2=28+4

3

y+y2，
|AB|2=(

16

3

)2=

256

9

．
當|BC|²＞|AC|²+|AB|²，
即28+4

3

y+y2＞

28

9

-

4 3

3

y+y2+

256

9

，
即y＞

2

9

3

時，∠CAB為鈍角．
當|AC|²＞|BC|²+|AB|²，
即

28

9

-

4 3

3

y+y2＞28+4

3

y+y2+

256

9

，
即y＜-

10

3

3

時∠CBA為鈍角．
又|AB|²＞|AC|²+|BC|²，
即

256

9

＞

28

9

-

4 3 y

3

+y2+28+4

3

y+y2，
即y2+

4

3

3

y+

4

3

＜0，(y+

2

3

)2＜0．
該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角．
因此，當△ABC為鈍角三角形時，
點C的縱坐標y的取值范圍是y＜-

10 3

3

或y＞

2 3

9

(y≠2

3

)．

點評：本小題主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關系，考查運用解析幾何的方法解決數學問題的能力．