Question

（2007•寶山區一模）已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設過點P，且傾斜角為120°的直線與曲線M相交于A，B兩點，A，B在直線l上的射影是A₁，B₁．
①求梯形AA₁B₁B的面積；
②若點C是線段A₁B₁上的動點，當△ABC為直角三角形時，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的定義，可知動圓圓心的軌跡為拋物線，再利用拋物線的標準方程求出動圓圓心的軌跡M的方程．
（2）①根據直線的傾斜角為120°，可得到直線的斜率，再根據直線過定點P（1，0），就可用直線方程的點斜式寫出直線方程，再與（1）中所求拋物線方程聯立，解出A，B點坐標，求出，|AA₁|+|BB₁|，再利用梯形的面積公式，求出梯形AA₁B₁B的面積．
②因為△ABC為直角三角形，沒有給出那一個角是直角，所以分三種情況討論，（i）∠A=90°，（ii）∠ABC=90°，
（iii）∠C=90°，分別求出P點坐標．

解答：解：（1）曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，其方程為y²=4x．
（2）①由題意得，直線AB的方程為y=-

3

（x-1），
由

y=-3(x-1) y2=4x

 消y得
3x²-10x+3=0，解得x₁=

1

3

，x₂=3   
于是，A點和B點的坐標分別為A（

1

3

，

2 3

3

），B（3，-2

3

），
所以|A₁B₁|=

2 3

3

+2

3

=

8 3

3

，|AA₁|+|BB₁|=x₁+x₂+2=

16

3

  
S=（|AA₁|+|BB₁|）|A₁B₁|=

64 3

9

   
②設C（-1，y）使△ABC成直角三角形，
|AC|²=（-1-

1

3

）²+（y-

2 3

3

）²=

28

9

-

4 3y

3

+y²，
|BC|²=（3+1）²+（y+2

3

）²=28+4

3

y+y²，
|AB|²=(

16

3

)2=

256

9

．
（i） 當∠A=90°時，得直線AC的方程為y-

2 3

3

=

3

3

（x-

1

3

），
求得C點的坐標是（-1，-

2 3

9

）．
（ii） 因為∠ABB₁=60°，所以，∠ABC不可能為直角．
（iii）當∠C=90°時，由幾何性質得C點是A₁B₁的中點，即C點的坐標是（-1，

2 3

3

）．
故當△ABC為直角三角形時，點C的坐標是（-1，-

2 3

3

）或（-1，

2 3

9

）．

點評：本題主要考查了定義法求點的軌跡方程，以及拋物線中，由焦點弦，準線，焦點弦的兩個端點到準線的垂線段組成的梯形的性質．