Question

某次演唱比賽，需要加試綜合素質測試，每位參賽選手需回答三個問題，組委會為每位選手都備有10道不同的題目可供選擇，其中有6道藝術類題目，2道文學類題目，2道體育類題目．測試時，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機抽取三次，每次抽取一道題，回答完該題后，再抽取下一道題目作答．
（I）求某選手在三次抽取中，只有第一次抽到的是藝術類題目的概率；
（II）求某選手抽到體育類題目數ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據分步計數原理從10道不同的題目中不放回的隨機抽取三次，每次只抽取1道題，抽法總數為C₁₀¹C₉¹C₈¹，只有第一次抽到藝術類題目的抽法總數為C₆¹C₄¹C₃^1，
（2）由題意知抽到體育類題目數的可能取值為0，1，2，當ξ=0時，表示沒有抽到體育類題目，當ξ=1時，表示抽到體育類題目有1個當ξ=2時，表示抽到體育類題目有2個，類似于上一問做出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）根據分步計數原理從10道不同的題目中不放回的隨機抽取三次，每次只抽取1道題，
抽法總數為C₁₀¹C₉¹C₈¹，
只有第一次抽到藝術類題目的抽法總數為C₆¹C₄¹C₃¹
∴P=

C 1 6 C 1 4 C 1 3

C 1 10 C 1 9 C 1 8

=

1

10

．

（2）由題意知抽到體育類題目數的可能取值為0，1，2
∵當ξ=0時，表示沒有抽到體育類題目，
當ξ=1時，表示抽到體育類題目有1個
當ξ=2時，表示抽到體育類題目有2個
∴P(ξ=0)=

C 1 8 C 1 7 C 1 6

C 1 10 C 1 9 C 1 8

=

7

15

P(ξ=1)=

C 1 3 C 1 2 C 1 8 C 1 7

C 1 10 C 1 9 C 1 8

=

7

15

P(ξ=2)=

C 1 8 C 1 3 C 1 2

C 1 10 C 1 9 C 1 8

=

1

15

∴ξ的分布列為：

∴Eξ=0×

7

15

+1×

7

15

+2×

1

15

=

3

5

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．