Question

已知在橢圓中，F₁（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點和上頂點，點O是橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當a取定值時，點H必為定點；
（Ⅱ）如圖所示，當點P在第二象限，以OP為直徑的圓與直線AB相切，且四邊形ABPH的面積等于，求橢圓的標準方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，OP∥AB，得，代入橢圓方程，得，由此能夠證明為定值，點H必為定點．
（II）當點P在第二象限，點O到直線AB的距離等于，由條件設直線AB的方程為：，則點O到直線AB的距離為，由，知，從而=，由四邊形ABPH的面積等于，知S_ABPH=S_△ABO+S_OBPH=．由此能夠求出橢圓的標準方程．
解答：解：（I）由，OP∥AB，得，代入橢圓方程，得，即，
由，得P點的坐標為或，（3分）
∵PH⊥x軸，∴或，
∵a為定值，∴點H必為定點．（6分）

（II）當點P在第二象限，以OP為直徑的圓與直線AB相切，
即等價于點O到直線AB的距離等于，（8分）
由條件設直線AB的方程為：，
則點O到直線AB的距離為，
又由（I）可知，所以，
從而=，即①（10分）
又四邊形ABPH的面積等于，
則S_ABPH=S_△ABO+S_OBPH
=
整理得ab②（12分）
由①②解得，
所以所求橢圓的標準方程為．（14分）
點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．