Question

已知橢圓C：(a＞b＞0)，其焦距為2c，若(≈0.618)，則稱橢圓C為“黃金橢圓”．

(1)求證：在黃金橢圓C：(a＞b＞0)中，a、b、c成等比數列．

(2)黃金橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點為F₂(c，0)，P為橢圓C上的

任意一點．是否存在過點F₂、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．

(3)在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F₁(－c，0)、F₂(c，0)，以A(－a，0)、B(a，0)、D(0，－b)、E(0，b)為頂點的菱形ADBE的內切圓過焦點F₁、F₂．

試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關的真命題，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由及，得，故a、b、c成等比數列．(4分) 　　(2)解：由題設，顯然直線l垂直于x軸時不合題意，設直線l的方程為， 　　得，又，及，得點的坐標為，(6分) 　　因為點在橢圓上，所以，又，得，，故存在滿足題意的直線，其斜率．(10分) 　　(3)黃金雙曲線的定義：已知雙曲線：，其焦距為，若(或寫成)，則稱雙曲線為“黃金雙曲線”．(12分) 　　在黃金雙曲線中有真命題：已知黃金雙曲線：的左、右焦點分別是、，以、、、為頂點的菱形的內切圓過頂點、．(14分) 　　證明：直線的方程為，原點到該直線的距離為，將代入，得，又將代入，化簡得，故直線與圓相切，同理可證直線、、均與圓相切，即以、為直徑的圓為菱形的內切圓，命題得證．(16分)