Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，，E為AB的中點．將沿DE翻折，得到四棱錐．設的中點為M，在翻折過程中，有下列三個命題：

①總有平面；

②線段BM的長為定值；

③存在某個位置，使DE與所成的角為90°．

其中正確的命題是_______．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】①②

【解析】

取D的中點N，連接MN，EN，根據四邊形MNEB為平行四邊形判斷①，②，假設DE⊥C得出矛盾結論判斷③．

取D的中點N，連接MN，EN，

則MN為△CD的中位線，

∴MN∥CD，且MN=CD

又E為矩形ABCD的邊AB的中點，∴BE∥CD，且BE=CD

∴MN∥BE，且MN=BE即四邊形MNEB為平行四邊形，∴BM∥EN，

又EN平面A1DE，BM平面A1DE，

∴BM∥平面DE，故①正確；

由四邊形MNEB為平行四邊形可得BM＝NE，

而在翻折過程中，NE的長度保持不變，故BM的長為定值，故②正確；

取DE的中點O，連接O，CO，

由D＝E可知O⊥DE，

若DE⊥C，則DE⊥平面OC，

∴DE⊥OC，又∠CDO＝90°﹣∠ADE＝45°，

∴△OCD為等腰直角三角形，故而CDOD，

而ODDE，CD＝4，與CDOD矛盾，故DE與C所成的角不可能為90°．

故③錯誤．

故答案為：①②．