Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經過點

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在經過點的直線，它與橢圓相交于兩個不同點，且滿足為坐標原點）關系的點也在橢圓上，如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ； (2)存在，

【解析】

（1）根據(jù)橢圓離心率為，得，將點代入橢圓方程，即可求解；

（2）分類討論當斜率不存在時和斜率存在時直線是否滿足題意，聯(lián)立直線和橢圓的方程，結合韋達定理用點的坐標代入運算即可求解.

解：（1）由橢圓的離心率為，得，再由點在橢圓上，得

解得，所以橢圓的方程為.

（2）因為點在橢圓內部，經過點的直線與橢圓恒有兩個交點，假設直線存在，

當斜率不存在時，經過點的直線的方程，與橢圓交點坐標為

或，

當時，

，

所以，，

點不在橢圓上；

當時，

，

同上可得：不在橢圓上，

所以直線不合題意；

當斜率存在時：設

，

設，由韋達定理得

因為點在橢圓上，因此得，

由，

由于點也在橢圓上，則

，整理得，

，即

所以

因此直線的方程為