Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，AB＝，BC＝1，E，F分別是AB，PC的中點，DE⊥PA.

(1)求證：EF∥平面PAD；

(2)求證：平面PAC⊥平面PDE.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）取PD中點G，根據平幾知識可得AEFG為平行四邊形，即得EF∥AG，再根據線面平行判定定理得結論（2）由矩形性質得DE⊥AC.又DE⊥PA.因此由線面垂直判定定理得DE⊥平面PAC.再根據面面垂直判定定理得結論

試題解析：證明　(1)如圖，取PD中點G，連接AG，FG，

因為F，G分別為PC，PD的中點，所以FG∥CD，且FG＝CD.

又因為E為AB中點，所以AE∥CD，且AE＝CD.

所以AE∥FG，AE＝FG.

所以四邊形AEFG為平行四邊形．

所以EF∥AG，又EF平面PAD，

AG平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

(2)設AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E為AB中點，得＝＝，

又因為AB＝，BC＝1，

所以AC＝，AH＝AC＝.

所以＝＝，又∠BAC為公共角，所以△HAE∽△BAC.

所以∠AHE＝∠ABC＝90°，

即DE⊥AC.

又DE⊥PA，PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以DE⊥平面PAC.

又DE平面PDE，

所以平面PAC⊥平面PDE.